Urutan langkah-langkah induksi matematika yang benar adalah

Jakarta -

Soal induksi matematika berisi tentang rumus atau teknik pembuktian dalam matematika. Teknik induksi matematika diperkenalkan oleh De Morgan pada abad ke-19.

Table of Contents Show

Soal Induksi Matematika
Contoh Soal dan Pembahasan
Video yang berhubungan

Dikutip dari buku 'Matematika Diskrit' karya Gede Suweken, induksi matematika memiliki dua prinsip yakni prinsip induksi lemah dan prinsip induksi kuat.

Soal Induksi Matematika

1) Prinsip Induksi Matematika (Lemah)

Prinsip ini dinyatakan dengan P(n) adalah suatu pernyataan tentang suatu bilangan asli n, dan q adalah suatu bilangan asli yang tertentu (fixed).

Maka bukti induktif bahwa P(n) adalah benar untuk semua n ≥ q dilakukan melalui 2 (dua) langkah berikut:

a. Langkah awal: Tunjukkan bahwa P(q) adalah benar.

b. Langkah induksi: Tunjukkan bahwa untuk k 2 q bilangan asli, jika P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.

Dari dua langkah di atas, maka terbukti bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli n ≥ q. Induksi matematika versi ini dikatakan lemah, karena pada langkah induksinya mengasumsikan P(n) benar untuk satu n saja.

Lemah di sini tidak berarti bahwa bukti yang ditampilkan kurang akurat.

Contoh soal induksi matematika (lemah)

Perhatikan contoh soal induksi matematika berikut ini.

Tunjukkan bahwa 1+2+3+...+n=½n(n+1) untuk semua n bilangan asli.

Pembahasan:

Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa 1+ 2+ 3+ ... + n/2 n(n+1). Tujuan kita adalah menunjukkan bahwa pernyataan P(n) tersebut benar untuk semua n bilangan asli.

Langkah awal: Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dalam hal ini P(1) adalah pernyataan yang bunyinya 1=1(1+1), yang tentu saja benar. Jadi P(1) benar.

Langkah Induksi: Kita harus menunjukkan bahwa jika P(k) benar, P(k+1) juga benar.

Dalam hal ini jika, 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 k(k+1) apakah 1 + 2 + 3 +...+ k + (k+ 1) = ½ (k+ 1) (k+1+1)= ½ (k+1)(k+2)?

Tentu saja 1+2+3+...+k+ (k+1)= ½ k(k+1) + (k+1) = (k+1)[2k + 1] = (k+1) (k+2) = ½ (k+1) (k+2).

Jadi jika P(k) benar, ternyata P(k+1) juga benar. Dengan dua bukti tersebut maka P(n), pernyataan bahwa 1+2+3+...+ n = ½ n(n+1) adalah benar untuk semua n bilangan asli.

2) Prinsip Induksi Matematika (Kuat)

Dalam hal ini, proses induksi tidak cukup hanya menunjukkan bahwa jika pernyataan P benar untuk satu kasus k ≥ q tapi juga benar untuk pernyataan k+1, yaitu pernyataan P(k+1).

Dalam hal tersebut harus ditunjukkan bahwa P benar untuk semua kasus P(q+1), P(q+2), P(q+3),..., P(k).

Jadi proses pembuktian Induksi Matematika secara kuat (strong mathematical induction) bahwa P(n) benar untuk semua n ≥ q adalah sebagai berikut:

a. Langkah awal: Tunjukkan bahwa P(q) benar

b. Langkah induktif: Tunjukkan bahwa untuk k 2 q, jika P(q+1), P(q+2), P(q+3), ..., dan P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.

Proses pembuktian ini adalah kuat dalam artian bahwa dalam langkah pembuktian induktifnya. Kita memiliki lebih banyak informasi dibandingkan dengan pembuktian yang sifatnya lemah.

Contoh soal induksi matematika (kuat)

Tunjukkan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor primanya.

Pembahasan:

Misalkan P adalah pernyataan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor primanya. Tentu saja P(2) benar.

Andaikan P(3), P(4), P(5), ..., P(k) benar. Bagaimana menunjukkan bahwa P(k+1) juga benar?

Jika (k+1) adalah bilangan prima, maka P(k+1) benar. Jika (k+1) bukan bilangan prima, maka k+1 = mn, dengan m dan n bilangan-bilangan asli kurang dari k.

Dengan pengandaian sebelumnya maka, m dan n tentu saja bisa dinyatakan sebagai produk dari bilangan-bilangan prima. Sebagai akibatnya, (k+1) juga merupakan hasil kali dari bilangan-bilangan prima.

Itulah contoh soal induksi matematika lengkap dengan pembahasannya. Selamat belajar detikers!

Simak Video "Pihak Suami Zaskia Gotik Hadir tapi Sidang Ditunda, Ini Alasannya"

[Gambas:Video 20detik]
(pay/pay)

Pembuktian menggunakan induksi matematika dapat juga dipahami sebgai pembuktian dengan efek domino. Maksudnya, cara pembuktian kebenaran pada induksi matematika mengenai target utama secara tidak langsung (melalui perantara). Seperti pada domino yang disusun kemudian bagian salah satu ujungnya dirobohkan, maka salah satu ujung lainnya juga akan mengalami dampaknya (ikut roboh). Biasanya, pembuktian menggunakan metode induksi matematika pada tingkat sekolah menengah atas digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan umum mengenai deret. Sehingga, pembahasan induksi matematika masih termasuk dalam pembahasan barisan dan deret aritmetika/geometri. Kembali ke masalah pembahasan mengenai induksi matematika, perhatikan ilustrasi efek domino pada gambar di bawah.

Langkah-langkah pembuktian rumus menggunakan induksi matematika:

Buktikan benar untuk n = 1.
Asumsikan benar untuk n = k, kemudian tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = k + 1.

Mengapa hanya dengan dua langkah pembuktian di atas dapat membuktikan kebenaran suatu rumus? Simak penjelasan lanjutnya pada pemaparan di bawah.

Penjelasan langkah-langkah pembuktian menggunakan metode induksi matematika dapat dijelasakan seperti berikut. Pertama, pembuktian ditunjukkan benar untuk n yang mewakili angka 1. Ini syarat dasar yang harus dipenuhi untuk membuktikan pernyataan matematika menggunakan induksi matematika. Jika syarat pertama tidak dapat dipenuhi, maka tidak usah dilanjutkan ke langkah berikutnya karena sudah pasti pernyataan tersebut bernilai salah (rumus tidak terbukti benar). Jika terbukti benar untuk syarat pertama, selanjutnya adalah membuktikan benar untuk langkah berikutnya, asumsikan benar untuk n = k dan buktikan benar untuk n = k + 1. Buatlah pernyataan dengan asumsi benar (anggapan benar) untuk n = k. Selanjutnya gunakan asumsi tersebut untuk membuktikan pernyataan benar untuk n = k + 1. Setelah terbukti benar untuk n = k + 1, sobat idschool dapat memahami bahwa jika nilai k diganti dengan angka nol maka pernyataan akan sesuai dengan pernyataan pertama (terbukti benar untuk n = 1). Selanjutnya, untuk k = 1 (nilai n = 2) juga akan benar karena sudah terbukti bahwa n = k + 1, maka n = 1 + 1 = 2 benar. Begitu seterusnya untuk nilai n lainnya, sehingga terbukti benar untuk semua n bilangan asli.

Contoh Soal dan Pembahasan

Perhatikan contoh soal dan pembahasan induksi matematika.
Buktikan bahwa pernyataan di bawah benar!

Bukti:

Akan dibuktikan benar untuk n = 1

Berdasarkan persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa terbukti benar untuk n = 1
Asumsikan benar untuk n = k

Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.

Bukti:

Substitusi asumsi benar untu n = k, sehingga diperoleh persamaan di bawah.

Persamaan terakhir merupakan kondisi yang kita harapkan, dimana persamaan tersebut terbukti untuk n = k + 1.
Dengan demikian, proses pembuktian rumus dengan induksi matematika sudah selesai dan terbukti bahwa

Untuk semua n bilangan asli.

Oke, sekian pembahasan singkat mengenai Langkah-langkah Pembuktian Rumus Menggunakan Induksi Matematika. Jika ada kekeliruan penulisan atau kurang teliti dalam menghitung bisa kasih komen di bawah. Jika ada soal terkait induksi matematika yang susah untuk dibuktikan juga bisa tinggalkan dalam kolom komentar dibawah. Terimakasih sudah mengunjung idschool.net, semoga bermanfaat. Baca Juga: Pengertian, Rumus, dan Sifat-sifat Notasi Sigma