Show Pada artikel ini kita akan belajar tentang Perbandingan Vektor pada Ruas Garis. Perbandingan vektor ini sebenarnya sama dengan perkalian skalar dengan vektor yang sudah kita pelajari pada artikel Tafsiran Geometri Dari Kedudukan Dua Vektor Atau Lebih↝ . Kali ini kita akan belajar lebih mendalam terkait dengan koordinat titik pembaginya. Ada tiga hal yang akan kita pelajari pada materi Perbandingan Vektor yaitu bisa menentukan pembagian ruas garis dengan perbandingan m:n, menentukan rumus pembagian dalam bentuk vektor dan menentukan koordinat titik pembagi pada ruas garis dan vektor. Sebelum mempelajari materi ini teman-teman harus menguasai dulu materi vektor sebelumnya seperti konsep Vektor↝ , operasi vektor↝ , tafsiran geometri vektor↝ . 1. Pembagian ruas garis dengan perbandingan m:nSuatu titik R membagi ruas garis $AB$ dengan perbandingan $m:n$ jika $AR:RB=m:n$. Dalam perbandingan $AR:RB=m:n$ terdapat dua kemungkinan letak titik R pada ruas garis AB, yaitu:
2. Rumus pembagian dalam bentuk VektorPada gambar disamping, ARB adalah segaris (kolinear). $$\begin{align*} & AR:RB=m:n \\ &\Leftrightarrow \frac{AR}{RB}=\frac{m}{n}\\ &\Leftrightarrow nAR=mRB \end{align*}$$ Maka $$\begin{align*} & \text{}nAR=mRB \\ &\Leftrightarrow n(\vec{r}-\vec{a})=m(\vec{b}-\vec{r}) \\ &\Leftrightarrow \text{ }n\vec{r}-n\vec{a}=m\vec{b}-m\vec{r} \\ &\Leftrightarrow (m+n)\vec{r}=m\vec{b}+n\vec{a} \\ &\Leftrightarrow \text{ }\vec{r}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n} \end{align*}$$3. Rumus perbandingan dalam bentuk koordinatSebelumnya telah dirumuskan pembagian ruas garis dalam bentuk vektor, yaitu: $$\vec{r}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}$$ Maka
Contoh soal Perbandingan Vektor pada Ruas GarisContoh 1Tentukan koordinat titik P yang membagi garis hubung $A(2,3,-1) $ dan $ B(-3,3, 4) $ dengan perbandingan $ 2 : 3 $ berdasarkan ketentukan :
Penyelesaian :
Contoh 2Tentukan koordinat titik C yang membagi garis hubung $P(2,-3,3) $ dan $ Q(2,4, 3) $ dengan perbandingan $ 5 : 2 $ berdasarkan ketentukan :
Penyelesaian :
Contoh 3Tentukan Koordinat titik P yang terletak di luar AB dengan $ A(-3, 2 , 1 ) $ , $ B( 1, -2, 4) $ $ \vec{AP} : \vec{PB} = 3 : (-2) $ dan tentukan letak titik P! Penyelesaian :
Contoh 4Bila $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari $ \Delta ABC $. Titik D pada $ \vec{AC} $ sehingga $ AD : DC = 1 : 3 $ . Titik E pada $ \vec{BC} $ sehingga $ BE : EC = 5 : 2 $. Nyatakan $ \vec{DE} $ dalam $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $, dan $ \vec{c} $ ! Penyelesaian :
Contoh 5Dari segitiga ABC diketahui titik D pada AC dan E pada AB. Titik G pada perpotongan DB dan EC. Jika diketahui perbandingan $ AD : DC = 3 : 1 $ dan $ AE : EB = 1 : 2 $, maka tentukan perbandingan $ EG : GC $ dan $ DG : GB $ ! Penyelesaian :
Jadi, kita peroleh perbandingan $ EG : GC = 2 : 1 $ dan $ DG : GB = 1 : 8 $. Catatan : Untuk cara yang lebih efektif dalam mengerjakan contoh soal nomor 5 ini, kita bisa menggunakan dalil menelaus. Caranya yaitu :
Bagaimana hasilnya? yups sama dengan menggunakan dalil menelaus. Latihan 5
|