Pengertian lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah pusat lingkaran sedangkan jarak yang tetap adalah jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran:
Sehingga, untuk menentukan persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:
- Menentukan pusat dan jari—jarinya
- Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai
(x-a)2 + (y – b)2 = r2 atau x2 + y2 = r2
Persamaan Jarak pada Lingkaran
- Jarak titik (x1 , y1) ke titik (x2 , y2)
- Jarak titik (x1 , y1) ke garis Ax + By + C = 0
Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:
- Apabila diketahui titik pada lingkaran
Terdapat titik (x1 , y1) pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:
Persamaannya menjadi:
- Apabila diketahui titik di luar lingkaran
- Tentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
- Melalui titik potong antara garis kutub
- Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub (polar) dan
- Diketahui Gradien
Apabila diketahui titik () dengan gradien m pada lingkaran.
Kedudukan Dua Lingkaran
Apabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akan:
- Saling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2
- Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r1 – r2|
- Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2
- Saling berpotongan, sehingga |r1 – r2| < d < r1 + r2
- Lingkaran di dalam lingkaran, sehingga d = ˂ r1 – r2
Soal No.1 (UTBK 2019)
Lingkaran yang berpusat di (a,b), dengan a,b > 3, menyinggung garis 3x + 4y = 12. Jika lingkaran tersebut berjari-jari 12, maka 3a + 4b =….
PEMBAHASAN :
⇒
⇒ 3a + 4b = 72
Jawaban E
Soal No.2 (SBMPTN 2018)
Jika lingkaran x2 + y2 + Ax + Ay + A = 0, dengan A > 0, mempunyai jari-jari 1/2 a, maka nilai A adalah…
PEMBAHASAN : Dari lingkaran
x2 + y2 − ax − ay + a = 0
Didapat:A = −a
B = −a
C = a
Menentukan a dari rumus jari-jari lingkaran:
a2 = 2a2 − 4a
a2 − 4a = 0 a(a − 4) = 0 a = 0 atau a = 4
Jawaban D
Soal No.3 (SBMPTN 2018)
Diketahui dua lingkaran x2 + y2 = 2 dan x2 + y2 = 4. Garis l1 menyinggung lingkaran pertama di titik (1,-1). Garis l2 menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis l1. Titik potong garis l1 dan l2 adalah….
- (1+,– 1)
- (1-,– 1)
- (1+,+1)
- (1-,– 2)
- (1+,+ 2)
PEMBAHASAN :
L1 ≡ x2 + y2 = 2
Titik pusatnya P1 (0,0)
dengan r1 =
l1 ≡ x1.x + y1.y = 2 ⇒ 1.x + (-1).y = 2 ⇒ x – y = 2……….persamaan 1
m1 = – (1/-1) = 1
l2 : m1.m2 = -1
1.m2 = -1
m2 = -1
l2 ≡ y = m2.x ± r
⇒ y = -1. x ± 2
⇒ y = -x ± 2
⇒ x + y = 2
x + y = – 2
Menentukan titik potong l1 dan l2 x – y = 2
x + y = 2
x = 1 +
y =
(1 +
Jawaban A
Soal No.4 (Matematika IPA SPMB 2005)
Jika a < 0 dan lingkaran x2 + y2 – ax + 2ay + 1 = 0 mempunyai jari-jari 2, maka koordinat pusat lingkaran tersebut adalah …
- (1,-2)
- (-1,2)
- (-1,-2)
PEMBAHASAN :
Jawaban : D
Soal No.5 (UN 2002)
Titik (a,b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = …
PEMBAHASAN : Diketahui: A = -2, B = 4
Dari persamaan x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
Diperoleh: a = -½A = -½ (-2) = 1 b = -½B = -½ (4) = -2 Sehingga, 2a + b = 2(1) + (-2) = 0Jawaban : A
Soal No.6 (Matematika IPA SNMPTN 2012)
Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …
- (-6,4)
- (6,4)
- (-1,4)
- (1,4)
- (5,4)
PEMBAHASAN : Diketahui: y = 4 Untuk mencari x:
(x + 6)2 + (y + 1)2 = 25
(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25
(x +6)2 + 25 = 25
(x + 6)2 = 0 x = -6 Sehingga lingkaran menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4)
Jawaban : A
Soal No.7 (UN 1998)
Diketahui lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0 melalui titik A(5,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan …
PEMBAHASAN : Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan:
x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0
x = 5, y = -152 + (-1)2 – 4(5) + 2(-1) + C = 0
25 + 1 – 20 – 2 + C = 0 C = – 4Maka persamaannya menjadi x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
A = 4, B = 2, C = – 4
Jawaban : B
Soal No.8 (Saintek SBMPTN 2013)
Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 adalah …
- x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
- x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0
- 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 17 = 0
- x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0
- 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 1 = 0
PEMBAHASAN :
Diketahui: A = 3, B = – 4, x1 = – 1, y1 = 1, C= 12
Jarak titik (-1, 1) ke garis 3x – 4y + 12 = 0:
(x – a)2 + (y –b)2 = r2
(x – (–1))2 + (y – 1)2 = 12
(x+1)2 + (y –1)2 = 1
x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
Jawaban : A
Soal No.9 (Matematika IPA UM UGM 2010)
Syarat agar garis ɑx + y = 0 menyinggung lingkaran dengan pusat (-1,3) dan jari-jari 1 adalah a = …
PEMBAHASAN : Diketahui: P (-1,3), r = 1, A = a, B = 1
Jawaban : B
Soal No.10 (UN 2013)
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1,3) dan berdiameter √40 adalah …
- x2 + y2 – 6x – 2y = 0
- x2 + y2 + 2x – 6y = 0
- x2 + y2 – 2x – 2y = 0
- x2 + y2 + 2x – 6y = 0
- x2 + y2 – 2x – 6y = 0
PEMBAHASAN : Diketahui: a = -1, b = 3, d = √40 r = ½ d = ½ √40 Sehingga persamaan lingkarannya :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-1))2 + (y – 3)2 = (½ √40)2
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10
x2 + y2 + 2x – 6y = 0
Jawaban : E
Soal No.11 (Matematika IPA SPMB 2002)
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan …
- (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
- (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
- (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
- (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16
- (x – 4)2 + (y + 6)2 = 25
PEMBAHASAN :
Dari persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 diketahui A = – 4, B = 6
Koordinat pusat lingkaran P(- ½A ,-½ B) → P(2,-3)
r = jarak pusat lingkaran ke garis 3x – 4y + 7 = 0
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – (- 3))2 = 52
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Jawaban : A
Soal No.12 (EBTANAS 1993)
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0 Menyinggung sumbu x. nilai A yang memenuhi adalah …
- -8 dan 8
- -6 dan 6
- -5 dan 5
- -4 dan 4
- -2 dan 2
PEMBAHASAN : Persamaan lingkarannya:
x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0
Dengan pusat P(- ½A ,-½ B) → P(½A, 5) Diketahui menyinggung sumbu x maka r = 5
Jawaban : D
Soal No.13 (Matematika IPA SPMB 2003)
Jika lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0 yang berpusat di titik (2,3) menyinggung garis y = 1 – x, maka nilai c = …
PEMBAHASAN : Diketahui: P(2,3), x + y – 1 = 0
x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0
Jawaban : C
Soal No.14 (UMPTN 2001)
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …
- x2 + y2 + 3x – 4y – 2 = 0
- x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
- x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0
- x2 + y2 + 2x – 8y + 8 = 0
- x2 + y2 + 2x + 8y – 16 = 0
PEMBAHASAN : Diketahui:
Jari-jari adalah jarak pusat lingkaran titik (x1 , y1) (1,4) ke garis 3x – 4y – 2 = 0
(x – 1)2 + (y – 4)2 = 32
x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0
Jawaban : D
Soal No.15 (Matematika IPA SNMPTN 2009)
Luas daerah yang diarsir pada lingkaran besar adalah 4 kali luas daerah lingkaran kecil.
Jika jari-jari lingkaran besar adalah
PEMBAHASAN :
Jawaban : B
Soal No.16 (UN 2006)
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah …
- x2 + y2 – x + y – 1 = 0
- x2 + y2 – x – y – 1 = 0
- x2 + y2 + 2x – 2y – 1 = 0
- x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0
- x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
PEMBAHASAN : Kita ilustrasikan dengan gambar di bawah ini:
a2 + 0 = 0 + a2 – 4a + 4 4a = 4 a = 1 Sehingga dengan P(a,a – 2) → P(1,-1) dan r = 1 persamaan lingkarannya:
(x – 1)2 + (y + 1)2 = 12
x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
Jawaban :E
Soal No.17 (Matematika IPA SPMB 2002)
Lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 10x + 2y + 17 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 8x – 22y – 7 = 0 …
- tidak berpotongan
- bersinggungan dalam
- bersinggungan luar
- berpotongan di dua titik
- mempunyai jari-jari sama
PEMBAHASAN :
Jawaban : A
Soal No.18 (UN 2007)
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7,-5) adalah …
- 4x – 3y = 43
- 4x + 3y = 23
- 3x – 4y = 41
- 10x + 3y = 55
- 4x – 5y = 53
PEMBAHASAN : Diketahui:
x1 = 7, y1 = -5
A = 6, B = 4 Persamaan untuk garis singgung:x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x1x + y1y + A/2(x + x1) + B/2 (y + y1) + C = 0 7x – 5y – 3 (x + 7) + 2(y – 5) – 12 = 0 7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0 4x – 3y = 43
Jawaban : A
Soal No.19 (Matematika IPA SNMPTN 2012)
Lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 memotong sumbu x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = …
PEMBAHASAN : Diketahui:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
P(3,4) r = 5 Memotong sumbu x di titik A dan B → y = 0(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
(x – 3)2 + (0 – 4)2 = 25
(x – 3)2 = 9
(x – 3)2 = (±3)2 x = 6 , x = 0
Jawaban : A
Soal No.20 (UN 2012)
Lingkaran L = (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …
- x = 2 dan x = -4
- x = 2 dan x = -2
- x = -2 dan x = 4
- x = -1 dan x = -4
- x = 8 dan x = -10
PEMBAHASAN :
- Diketahui garis y = 3
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 9
(x + 1)2 + (3-3)2 = 9
(x + 1)2 = 9 x + 1 = ± 3 x = 2 dan x = -4Sehingga titik potong yang diperoleh (2,3) dan (-4,3)
- Garis singgung lingkaran di titik (2,3)
(x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
3x + 3 = 9
x = 2
- Garis singgung lingkaran di titik (-4,3)
(x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
-3x – 3 = 9
x = -4
Jawaban : A
Soal No.21 (Matematika IPA SPMB 2001)
Persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama adalah …
- y = ½ x+1
- y = ½ x-1
- y = ½ x+2
- y = ½ x-2
- y = ½ x
PEMBAHASAN : Persamaan lingkaran
x2 + y2 + 4x + 3 = 0
(x+2)2 + y2 = -3 + 4
(x+2)2 + y2 = 1 Diketahui: P (-2,0), r = 1 Menentukan gradien: x – 2y = 10 → y = ½ x – 5 →m = ½ Maka persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan melalui (-2,0) adalah … y – 0 = ½ (x+2) y = ½ x+1
Jawaban : A
Soal No.22 (UN 2007)
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 yang bergradien 10 adalah …
- y = 10x – 10 ± 2 √101
- y = 10x – 11 ± 2 √101
- y = -10x + 10 ± 2 √101
- y = -10x ± 2 √101
- y = 10x ± 2 √101
PEMBAHASAN :
Persamaan garis singgung x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0
Diketahui: Pusat (a,b) → P(1,-1), m = 10
Jawaban : B
Soal No.23 (Matematika IPA SPMB 2004)
Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada parabola y = x2 dan menyinggung sumbu x adalah …
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a2 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a4 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a4 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = 0
PEMBAHASAN :
Diketahui: y = x2 menyinggung sumbu x
Kita asumsikan pusat lingkaran di x = a → y = a2, sedangkan lingkaran menyinggung sumbu x → r = y = a2
(x – a) + (y – b)2 = r2
(x – a)2 + (y – a2)2 = (a2)2
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = a4
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
Jawaban : A
Soal No.24 (UMPTN 2001)
Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y – 15 = 0 adalah …
- 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 58 = 0
- 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 20 = 0
- 12x + 5y – 20 = 0 atau 12x + 5y + 20 = 0
- 12x + 5y = – 20 atau 5x + 12y = 58
- 5x + 12y = – 20 atau 5x + 12y = 58
PEMBAHASAN : Diketahui persamaan Lingkaran:
2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0, disederhanakan menjadi x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dengan P (1, 2), A = -2, B =4
Sehingga persamaan garis singgung lingkaran:
- 12y + 24 = – 5x + 5 + 39 → 5x + 12y – 20 = 0
- 12y + 24 = – 5x + 5 – 39 → 5x + 12y + 58 = 0
Jawaban : A
Soal No.25 (Matematika IPA SPMB 2005)
Lingkaran L menyinggung sumbu x, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 4 dan melalui titik B(4,6). Persamaan L dapat ditulis sebagai …
- (x – 4)2 + (y + 6)2 = 144
- (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
- x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
- x2 + y2 – 24x + 44 = 0
- x2 + y2 – 8x + 6y + 56 = 0
PEMBAHASAN :
Berdasarkan ilustrasi gambar: (OP)2 = a2 + b2 Persamaan (1)
(2 + b)2 = a2 + b2
b2 + 4b + 4 = a2 + b2
4b = a2 – 4
Persamaan (2)
(x – a)2 + (y – b)2 = b2 melalui titik (x,y) ® (4,6)
(4 – a)2 + (6 – b)2 = b2
(4 – a)2 + 36 – 12b = 0
Substitusikan persamaan (1) ke (2)
(4 – a)2 + 36 – 3(4b) = 0
a2 – 8a + 16 + 36 – 3(a2 – 4) = 0
a2 – 8a + 16 + 36 – 3a2 + 12 = 0
2 a2 + 8a – 64 = a2 + 4a – 32 = 0 (a – 4) (a + 8) = 0 a = 4 → a = -8 Untuk a = 4 → b = 3
4b = a2 – 4
4b = 42 – 4 4b = 12 b = 3 Sehingga persamaan Lingkarannya adalah: P(a,b) → (4,3), sedangkan r = b = 3
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 32
x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
Jawaban : C
Soal No.26 (UN 2004)
Persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 5 = 0 adalah …
- y = 3x + 1 dan y = 3x – 30
- y = 3x + 2 dan y = 3x – 32
- y = 3x – 2 dan y = 3x + 32
- y = 3x + 5 dan y = 3x – 35
- y = 3x – 5 dan y = 3x + 35
PEMBAHASAN :
Jawaban : D
Soal No.27 (Matematika IPA UM UGM 2013)
Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis y = 2 di (3,2) dan menyinggung garis y = -x√3 + 2 adalah …
- (3,√3)
- (3,3√3)
- (3,2 +√3)
- (3,2 + 2√3)
- (3,2 + 3√3)
PEMBAHASAN :
Jawaban : E
Soal No.28 (UN 2000)
Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (-3 ,4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari-jari r. Nilai r = …
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan garis singgung x2 + y2 = 25 di titik (-3 ,4)
x1 x + y1 y = r2
-3x + 4y = 25 → -3x + 4y – 25 = 0
Jarak titik P(10, 5) ke garis -3x + 4y – 25 = 0
x1 = 10, y1 = 5, C = -25, A = -3, B = 4
Jawaban : C
Soal No.29 (Matematika IPA SPMB 2005)
Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a maka persamaan garis singgung lingkaran melalui O adalah …
- y = -x
- y = – x√a
- y = – ax
- y = -2x√2
- y = -2ax
PEMBAHASAN :
Jawaban : B
Soal No.30 (UN 2003)
Salah satu garis singgung lingkaran yang bersudut 120° terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7,6) dan (1,-2) adalah …
- y = -x√3 + 4√3 + 12
- y = -x√3 – 4√3 + 8
- y = -x√3 + 4√3 – 4
- y = -x√3 – 4√3 – 8
- y = -x√3 + 4√3 + 22
PEMBAHASAN :
Jawaban : A
Soal No.31 (SAINTEK SNMPTN 2014)
Misalkan diberikan titik A(1,0) dan B(0,1). Jika P bersifat |PA| : |PB| = √m : √n maka P terletak pada lingkaran dengan persamaan …
- (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)
- (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx + my)
- (n + m)(x2 + y2 – 1) = (nx – my)
- (n + m)(x2 + y2 – 1) = (mx – ny)
- (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)
PEMBAHASAN : Diketahui: A(1,0) dan B(0,1)
((x – 1)2 + y2)(x2 + (y – 1)2 ) = m : n
m(x2 + (y – 1)2) = n ((x – 1)2 + y2)
m(x2 + y2–2y + 1) = n(x2 – 2x +1+ y2)
mx2 + my2 – 2my + m = nx2 – 2nx +n + ny2
2(nx – my) = (n – m)(x2 + y2 + 1)
Jawaban : E
Soal No.32 (EBTANAS 2001)
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik (0,0) pada lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 adalah …
- x – y = 0
- 11x + y = 0
- 2x + 11y = 0
- 11x – y = 0
- 11x – 2y = 0
PEMBAHASAN : Pada titik (0,0), persamaan garis polar:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 → (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2
Untuk mencari y:(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
3x+ 4y –20 = 0
Jawaban : E
Soal No.33
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran di bawah ini!
- x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0
- 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
- x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0
PEMBAHASAN :
- x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0
Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh:A = – 3 , B = 6 , C = – 1Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:
- 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
Bagi persamaan dengan 2, diperoleh sebagai berikut:x2 + y2 – 3x + 14y – 5 = 0Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh: A = – 3 , B = 14 , C = – 5 - x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0
Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh:
A = 4a , B = 4b , C = – 4ab
Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:
Soal No.34
Tentukan persamaan lingkaran dengan data sebagai berikut:
- Berpusat di (3,-5) dan melalui titik (-2,7)
- Berpusat di (8,4) dan menyinggung sumbu y
- Berpusat di (-2,-3) dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
- Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik (6,0)
PEMBAHASAN :
- Jari-jari lingkaran = r = jarak dari titik (a,b) = (3,-5) ke titik (x,y) = (-2,7)
Persamaan untuk lingkaran yang berpusat di (a,b) dan jari-jari di r, sebagai berikut:(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Berpusat di (3,-5) dan r = 13(x – 3)2 + (y – (-5))2 = 132
x2 – 6x + 9 + y2 + 10 y + 25 = 169
x2 + y2 – 6x + 10y – 135 = 0 - Titik pusat di (8,4) dan menyinggung sumbu y
Diketahui:
Lingkaran menyinggung sumbu y sehingga jari jari = absis = r = 8 sebagai titik pusat lingkarannya.Maka persamaan lingkaran sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 8)2 + (y – 4)2 = 82
x2 – 16x + 64 + y2 – 8y + 16 = 64
x2 + y2 – 16x – 8y + 16 = 0 - Berpusat di (-2,-3) dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
Rumus jari-jari yang menyinggung garis sebagai berikut:Maka persamaan yang terbentuk adalah:(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-2))2 + (y – (-3))2 = 52
(x + 2)2 + (y + 3)2 = 52
x2 + 4x + y2 + 6y + 9 = 25
x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0 - Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik (6,0)
y = x – 5 , lingkaran menyinggung sumbu x di titik (6,0) x = 6 → y = 6 – 5 = 1 Maka pusat lingkarannya diperoleh (6,1), jari-jari = r = ordinat titik pusat = 1 Persamaan lingkarannya sebagai berikut:(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 6)2 + (y – 1)2 = 12
x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 = 1
x2 + y2 – 12x – 2y + 36
Soal No.35
Diketahui lingkaran dengan titik pusat di (3,0) dan memiliki diameter 4
- x2 + y2 – 8x – 8y + 3 = 0
- x2 + y2 – 8x – 8 = 0
- x2 + y2 – 8x + 8y – 10 = 0
- x2 + y2 + 6x – 9 = 0
- x2 + y2 + x + 8 = 0
PEMBAHASAN : Diketahui: Titik pusat (3,0)
Diameter = d = 4
Jari-jari = r = 2
Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 4)2 + (y – 0)2 = (2
x2 – 8x + y2 = 8
x2 + y2 – 8x – 8 = 0
Jawaban B
Soal No.36
Persamaan lingkaran dengan pusat P (5,2) dan menyinggung garis 6x + 8y + 4 = 0 adalah …
- x2 + y2 + x – 4y + 8 = 0
- x2 + y2 – 12x + 7y + 4 = 0
- x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
- x2 + 3y2 + 9x + 4y + 10 = 0
- 2x2 + y2 – 10x – 4y – 4 = 0
PEMBAHASAN : Menentukan jari-jari lingkaran: Titik pusat P (5,2) Persamaan garis: 6x + 8y + 4 = 0
Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut: (a,b) → (5,2) r = 5
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 5)2 + (y – 2)2 = 52
x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 = 25
x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
Jawaban C
Soal No.37
Persamaan lingkaran dengan pusat (-2,3) dan menyinggung garis 5x – 12y + 7 = 0 adalah …
- x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
- x2 + y2 + 2x + 6y + 2 = 0
- x2 + y2 + 4x – y – 4 = 0
- x2 + y2 + 5x – 6y + 4 = 0
- x2 + y2 + 4x – 6y + 6 = 0
PEMBAHASAN : Titik pusat (-2,3) Persamaan garis 5x – 12y + 7 = 0
Persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
a = -2 , b = 3 , r = 3
(x – (-2))2 + (y – 3)2 = 32
x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 9
x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
Jawaban A
Soal No.38
Perhatikan gambar berikut!
Lingkaran memotong sumbu x dititik P dan Q. jika O adalah titik pusat lingkaran, maka cos ∠POQ adalah …
PEMBAHASAN :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 6)2 + (y – 8)2 = 102
(x – 6)2 + (0 – 8)2 = 102
x2 – 12x + 36 + 64 = 100
(x – 6)2 = 100 – 64
(x – 6)2 = 36 x – 6 = ± 6
x1 dan x2 = 12
P (0,0) dan Q (15,0) → PQ = 12
Jawaban B
Soal No.39
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 20 yang melalui titik (2, -5) adalah …
- 3x + 2y = 20
- 2x + 5y = 10
- 5x – 2y = 20
- 2x – 5y = 20
- 3x + 2y = 10
PEMBAHASAN :
Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 20
Titik singgung: (2, -5) → (x1 , y1)
Maka persamaan garis singgung lingkarannya sebagai berikut:
x . x1 + y . y1 = 20
2x – 5y = 20
Jawaban D
Soal No.40
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik (5,3) adalah …
- 3x + 2y – 10 = 0
- 3x – 5y + 9 = 0
- 5x + 2y + 9 = 0
- x – 3y – 10 = 0
- 3x – 2y – 9 = 0
PEMBAHASAN : Persamaan garis singgung lingkaran:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x.x1 + y.y1 + ½ A (x + x1 ) + ½ B (y + y1 ) + C = 0
Maka persamaannya menjadi:
x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik (5,3) → (x1 , y1 )
x.x1 + y.y1 + ½ A (x + x1 ) + ½ B (y + y1 ) + C = 0
5x + 3y + ½ . – 4(x + 5) + ½ . – 10(y + 3) + 16 = 0
5x + 3y – 2(x + 5) – 5(y + 3) + 16 = 0
5x + 3y – 2x – 10 – 5y – 15 + 16 = 0
3x – 2y – 9 = 0
Jawaban E
Soal No.41
Persamaan salah satu garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 yang melalui titik P(0,8) adalah …
- 14 x – 2y = 16
- x + 2y = 16
- x – 2y = 12
- 4 x + y = 14
- – 24 x – 2y = 10
PEMBAHASAN :
Persamaan: x2 + y2 = 16
Titik yang dilalui: P(0,8)
x.x1 + y.y1 = 16
0.x1 + 8.y1 = 16
y1 = 2
Menentukan x1 dengan persamaan x1 2 + y1 2 = 16
Substitusikan y1 = 2
x1 2 + y1 2 = 16
x1 2 + 2 = 16
x1 2 = 14
x1 =
Maka persamaan garis singgung lingkaran, sebagai berikut:
±
Jawaban B
Soal No.42
Lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 61 menyinggung garis x = 3 di titik …
- (2,-3)
- (3,1)
- (-5,2)
- (3,9)
- (4,1)
PEMBAHASAN :
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 61 → x = 3
Maka:
(3 + 2)2 + (y – 3)2 = 61
25 + (y – 3)2 = 61
(y – 3)2 = 36 y – 3 = 6 y = 9 Maka titik singgungnya adalah (3,9)
Jawaban D
Soal No.43
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 36 tegak lurus dengan garis y + 2x – 3 = 0 adalah …
PEMBAHASAN :
x2 + y2 = 36 → r =
m1 = – 2
m1 x m2 = -1
-2 x m2 = -1
m2 = ½
Jawaban B
Soal No.44
Persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis lurus 2x – y + 5 = 0 adalah …
- y = x ± 3
- y = 2x ± 2
- y = -2x ± 3
- y = 2x ± 3
- y = 2x ± 2
PEMBAHASAN :
Jawaban D
Soal No.45
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0 yang tegak lurus garis y = 5 – 3x adalah …
- y – 3x = ± 3– 1
- 3y + x = ± 2– 100
- 3y – x = ± 3– 11
- 2y – 3x = ± 3
- y – 5x = ± 3– 15
PEMBAHASAN :
x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0
Menentukan titik pusat dan jari-jari, sebagai berikut:
Jari-jari = r = 3
Menentukan gradien garis y = 5 – 3x
Berlaku untuk persamaan garis yang tegak lurus m1 x m2 = – 1
y = 5 – 3x → m1 = – 3
m1 x m2 = – 1
-3 x m2 = -1
m2 = 1/3
Maka persamaan garis singgungnya, sebagai berikut: Titik pusat (2,-3) → (a,b) , r = 3 , m = 1/3
3y + 9 = x – 2 ± 3
3y – x = ± 3
Jawaban C
Soal No.46
Jika suatu lingkaran memiliki titik pusat yang berada pada kurva y = – x dan melalui titik asal O (0,0). Sedangkan absis titik pusat lingkaran tersebut adalah p, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui O adalah …
- y = 2x
- y = x
- y = – 3x
- y = ½ x
- y = -x
PEMBAHASAN :
Titik pusat pada kurva y = – x , maka:
- Absis titik pusat x = p
- Ordinat titik pusat y = – x → y = – p
Titik pusat (p, – p) → (x,y) Titik yang dilalui (0,0) → (a,b)
Menentukan gradien garis, sebagai berikut:
m1 . m2 = – 1
-1 . m2 = – 1
m2 = 1
Maka persamaan garis singgungnya yaitu: y = mx y = x
Jawaban B
Soal No.47
Perhatikan gambar berikut ini!
Berdasarkan gambar di atas CD adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan B. Maka panjang garis singgung CD adalah …
PEMBAHASAN :
Jawaban A
Soal No.48
Terdapat dua buah lingkaran dengan A pusat lingkaran yang berjari-jari 3 cm, B pusat lingkaran yang berjari-jari 6 cm, dan AB = 15 cm. Jika DE adalah garis singgung persekutuan yang memotong AB serta D dan E adalah titik-titik singgungnya. Maka Panjang DE = …
PEMBAHASAN :
Jawaban C
Soal No.49
Perhatikan gambar berikut ini!
Pada gambar terdapat dua setengah lingkaran yang sama dan sebuah lingkaran yang saling bersinggungan. Lingkaran-lingkaran tersebut terdapat di dalam sebuah persegi panjang. Maka panjang jari-jarinya adalah …
PEMBAHASAN :
Jawaban A
Soal No.50
Tentukan nilai A agar lingkaran x2 + y2 – Ax – 12y + 6 = 0 dan garis y = 0.
- Bersinggungan
- Berpotongan di dua titik
PEMBAHASAN :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 – 8x – By + 6 = 0
y = 0
x2 + 02 – Ax – 12.0 + 6 = 0
x2 – Ax + 6 = 0
- Bersinggungan
D = 0
D = b2 – 4ac
x2 – Ax + 6 = 0 a = 1 , b = – A , c = 6(-A)2 – 4. 1 . 6 = 0
A2 – 24 = 0
A2 = 24
A = ± 2
Nilai A yang memenuhi 2atau – 2 - Berpotongan di dua titik
D > 0
D = b2 – 4ac
x2 – Ax + 6 = 0 a = 1 , b = – A , c = 6(-A)2 – 4. 1 . 6 > 0
A2 – 24 > 0
A2 > 24
A > ± 2
Soal No.51
Tentukan batasan a agar garis y = ax + 4 dan lingkaran x2 + y2 = 2
- Bersinggungan
- Berpotongan
- Tidak berpotongan
PEMBAHASAN : Persamaan 1: y = ax + 4
Persamaan 2: x2 + y2 = 2
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sebagai berikut:x2 + (ax + 4)2 = 2
x2 + a2x2 + 8ax + 16 = 2
(1 + a2)x2 + 8ax + 14 = 0
- Bersinggungan
(1 + a2)x2 + 8ax + 14 = 0
a = 1 + a2 b = 8a c = 14 D = 0D = b2 – 4ac
(8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) = 0
64a2 – 56 – 56a2 = 0
8a2 – 56 = 0
8a2 = 56
a2 = 7
Maka nilai a yang memenuhi: a = –atau a = - Berpotongan
D ≥ 0
D = b2 – 4ac
(8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) ≥ 0
64a2 – 56 – 56a2 ≥ 0
8a2 – 56 ≥ 0
8a2 ≥ 56
a2 ≥ 7
a ≥ ±
Maka nilai a yang memenuhi: a ≤ –atau a ≥ - Tidak berpotongan
D < 0
D = b2 – 4ac
(8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) < 0
64a2 – 56 – 56a2 < 0
8a2 – 56 < 0
8a2 < 56
a2 < 7
a < ±
Maka nilai yang memenuhi: –< a <
Soal No.52
Tentukan hubungan kedua lingkaran di bawah ini:
- L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0
- L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0
- L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
- L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0
PEMBAHASAN :
- L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0
L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0 Titik pusat lingkaran:Jari jari lingkaran:Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:Maka hubungan kedua lingkaran tersebut adalah:
L1 dan L2 saling lepas
- L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0
L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0 Titik pusat lingkaran:Jari jari lingkaran:Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
- L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0
L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0 Titik pusat lingkaran:Jari jari lingkaran:Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
- L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0
L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0 Titik pusat lingkaran:Jari jari lingkaran:Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
Maka hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 bersinggungan di luar