Pada kubus PQRS.TUVW manakah diantara vektor vektor berikut ini yang tegak lurus dengan vektor tr

The good student, kita bersama Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Vektor yaitu Tinjauan Vektor Secara Geometris.

Vektor adalah ruas garis berarah, sehingga suatu vektor memiliki panjang dan arah. Menyatakan vektor dapat dengan satu huruf kecil atau dua huruf besar.

Sedangkan vektor nol adalah vektor yang memiliki panjang nol satuan dan tidak mempunyai arah [dilambangkan dengan $\vec{o}$ ] sehingga gambarnya berupa sebuah titik.

Sebagai Contoh sebuah balok $ABCD.EFGH$ seperti gambar di samping memiliki panjang rusuk $AB= 4\ cm$, $AD = 2\ cm$ dan $AE = 5\ cm$, maka panjang vektor $\vec{EC}$ dapat dihitung seperti berikut ini:

$\begin{align} \left| \vec{EC} \right|\ &= \sqrt{AB^{2}+AD^{2}+AE^{2}}\\ &= \sqrt{4^{2}+2^{2}+5^{2}} \\ &= \sqrt{16+4+25} \\ &= \sqrt{45}=3\sqrt{5} \end{align}$

Dua vektor dikatakan sama jika panjangnya sama dan arahnya juga sama. Sebagai contoh pada sebuah kubus $ABCD.EFGH$ terdapat titik $P$ perpotongan diagonal $EFGH$ dan titik $Q$ perpotongan diagonal $ABCD$ [Seperti gambar berikut ini].

Pada kubus di atas dapat beberapa vektor yang kita tarik kesimpulan antara lain:

• $\vec{AC} = \vec{EG}$
• $\vec{BD} \neq \vec{HF}$
• $\vec{EP} = \vec{QC}$
• $\vec{HP} \neq \vec{DB}$
• $\vec{DB} \neq \vec{FC}$

OPERASI PENJUMLAHAN VEKTOR

Terdapat dua metode penjumlahan vektor yaitu metode segitiga dan metode jajar genjang.

Misalkan dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ seperti gambar di bawah ini

Vektor hasil dari $\vec{a} + \vec{b}$ dapat ditentukan dengan metode segitiga dan metode jajar genjang seperti gambar berikut ini:

OPERASI PENGURANGAN VEKTOR

Vektor negatif $\vec{a}$ ditulis $-\vec{a}$ yaitu vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor $\vec{a}$ tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor $\vec{a}$.

Sehingga pengurangan vektor adalah penjumlahan dengan vektor negatifnya atau $a – b = a + [– b ]$.

Gambaran pengurangan vektor dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Untuk menambah pemahaman kita terkait Tinjauan Vektor Secara Geometris ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Tinjauan Vektor Secara Geometris Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Jika tertarik untuk membahas soal-soal vektor yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksimasuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Vektor.

1. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada kubus $ABCD.EFGH$ manakah diantara vektor berikut ini yang sama dengan vektor $\vec{HF}$?

$\begin{align} [A]\ & \vec{BD} \\ [B]\ & \vec{DC} \\ [C]\ & \vec{DB} \\ [D]\ & \vec{DF} \\ [E]\ & \vec{EF} \end{align}$

Sebuah kubus $ABCD.EFGH$ jika kita gambarkan seperti berikut ini.

Pada kubus $ABCD.EFGH$ di atas vektor yang sama dengan $\vec{HF}$ adalah $\vec{DB}$ karena panjangnya sama dan arahnya sama.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[C]\ \vec{DB}$

2. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada kubus $ABCD.EFGH$ manakah diantara vektor-vektor berikut ini yang tegak lurus dengan vektor $\vec{AC}$?

$\begin{align} [A]\ & \vec{HF} \\ [B]\ & \vec{AD} \\ [C]\ & \vec{HG} \\ [D]\ & \vec{AE} \\ [E]\ & \vec{EF} \end{align}$

Sebuah kubus $ABCD.EFGH$ jika kita gambarkan seperti berikut ini.

Pada kubus $ABCD.EFGH$ di atas vektor yang tegak lurus dengan $\vec{AC}$ adalah $\vec{AE}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[D]\ \vec{AE}$

3. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $\sqrt{6}\ cm$. Panjang vektor $\vec{EC}$ adalah...

$\begin{align} [A]\ & 3\sqrt{2}\ cm \\ [B]\ & 2\sqrt{3}\ cm \\ [C]\ & \sqrt{15}\ cm \\ [D]\ & 2\sqrt{6}\ cm \\ [E]\ & 6\sqrt{2}\ cm \end{align}$

Sebuah kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $\sqrt{6}\ cm$ jika kita gambarkan seperti berikut ini.

Pada kubus $ABCD.EFGH$ di atas panjang vektor $\vec{EC}$ kita hitung dengan aturan panjang diagonal ruang pada kubus yaitu $a\sqrt{3}$ dimana $a$ adalah panjang rusuk kubus. Sehingga $\vec{EC}=a\sqrt{3}=\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} =3\sqrt{2}$.

Alternatif lain dapat kita gunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $ACE$ dan $ABC$, yaitu:
$\begin{align} AC^{2} & = AC^{2} + BC^{2} \\ & = \left[ \sqrt{6} \right]^{2} + \left[ \sqrt{6} \right]^{2} \\ & = 12 \\ \hline EC^{2} & = AE^{2} + AC^{2} \\ & = \left[ \sqrt{6} \right]^{2} + 12 \\ & = 18 \\ EC & = \sqrt{18}=3\sqrt{2} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[A]\ 3\sqrt{2}\ cm$

4. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada kubus $ABCD.EFGH$ manakah diantara vektor-vektor berikut ini yang sama?

$\begin{align} [A]\ & \vec{AP}\ \text{dan}\ \vec{MQ} \\ [B]\ & \vec{PQ}\ \text{dan}\ \vec{NG} \\ [C]\ & \vec{PQ}\ \text{dan}\ \vec{PE} \\ [D]\ & \vec{QM}\ \text{dan}\ \vec{PN} \\ [E]\ & \vec{AP}\ \text{dan}\ \vec{QG} \end{align}$

Dari pasangan vektor pada pilihan berikut keterangannya:

1. $\vec{AP}\ \text{dan}\ \vec{MQ}$ tidak sama karena besar kedua vektor ini tidak sama.
2. $\vec{PQ}\ \text{dan}\ \vec{NG}$ tidak sama karena besar dan arah kedua vektor ini tidak sama.
3. $\vec{PQ}\ \text{dan}\ \vec{NG}$ tidak sama karena arah kedua vektor ini tidak sama.
4. $\vec{QM}\ \text{dan}\ \vec{PN}$ tidak sama karena arah kedua vektor ini tidak sama.
5. $\vec{AP}\ \text{dan}\ \vec{QG}$ sama karena arah dan besar kedua vektor ini sama.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[E]\ \vec{AP}\ \text{dan}\ \vec{QG}$

5. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada kubus $ABCD.EFGH$ diketahui $\vec{AB}=\vec{p}$, $\vec{AD}=\vec{q}$ dan $\vec{AE}=\vec{r}$, maka vektor $\vec{DF}=\cdots$

$\begin{align} [A]\ & \vec{p}+ \vec{q} - \vec{r} \\ [B]\ & \vec{p} - \vec{q} + \vec{r} \\ [C]\ & \vec{p}- \vec{q}- \vec{r} \\ [D]\ & -\vec{p}+\vec{q}- \vec{r} \\ [E]\ & -\vec{p}- \vec{q} + \vec{r} \end{align}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan vektor-vektor yang diketahui seperti berikut ini:

Untuk mendapatkan $\vec{DF}$ ada beberapa cara yang dapat kita lakukan, diantaranya:
$\begin{align} \vec{DF} &= \vec{DB} + \vec{BF} \\ &= \vec{DA}+ \vec{AB} + \vec{r} \\ &= -\vec{AD}+ \vec{p} + \vec{r} \\ &= -\vec{q}+ \vec{p} + \vec{r} \\ &= \vec{p} - \vec{q} + \vec{r} \end{align}$

Alternatif lain, bisa dengan melihat lintasan yang saudah ada misalnya:
$\begin{align} \vec{DF} &= \vec{DC} + \vec{CG} + \vec{GF} \\ &= \vec{AB}+ \vec{AE} - \vec{AD} \\ &= \vec{p}+ \vec{r} - \vec{q} \\ &= \vec{p} - \vec{q} + \vec{r} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[B]\ \vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$

6. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada kubus $ABCD.EFGH$ terdapat titik $M$ yakni perpotongan diagonal bidang $EFGH$. Jika $\vec{AB}=\vec{p}$, $\vec{AD}=\vec{q}$ dan $\vec{AE}=\vec{r}$, maka vektor $\vec{MB}=\cdots$

$\begin{align} [A]\ & \frac{1}{2}\vec{p}+ \frac{1}{2}\vec{q}- \vec{r} \\ [B]\ & \frac{1}{2}\vec{p}+ \vec{q}- \frac{1}{2}\vec{r} \\ [C]\ & \frac{1}{2}\vec{p}- \vec{q}- \frac{1}{2}\vec{r} \\ [D]\ & \frac{1}{2}\vec{p}- \frac{1}{2}\vec{q}+ \vec{r} \\ [E]\ & \frac{1}{2}\vec{p}- \frac{1}{2}\vec{q}- \vec{r} \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $M$ dan vektor-vektor yang diketahui seperti berikut ini:

Untuk mendapatkan $\vec{MB}$ ada beberapa cara yang dapat kita lakukan, diantaranya:
$\begin{align} \vec{MB} &= \vec{MF} + \vec{FB} \\ &= \frac{1}{2} \vec{HF} - \vec{r} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \vec{HE}+\vec{EF} \right] - \vec{r} \\ &= \frac{1}{2} \left[ -\vec{q}+\vec{p} \right] - \vec{r} \\ &= -\frac{1}{2} \vec{q}+\frac{1}{2}\vec{p} - \vec{r} \\ &= \frac{1}{2} \vec{p}-\frac{1}{2}\vec{p} - \vec{r} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[E]\ \frac{1}{2} \vec{p}-\frac{1}{2}\vec{p} - \vec{r}$

7. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada gambar jajaran genjang di bawah ini hasil dari $\vec{g} + \vec{f} = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & \vec{c} \\ [B]\ & \vec{b} \\ [C]\ & \vec{a} \\ [D]\ & \vec{e} \\ [E]\ & \vec{d} \end{align}$

Dari gambar jajaran genjang di atas kita peroleh $\vec{g} + \vec{f }=\vec{ c }$. Jika kita gambarkan penjumlahannya seperti berikut ini

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[A]\ \vec{c}$

8. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada gambar jajaran genjang di bawah ini hasil dari $\vec{h} - \vec{g} + \vec{c} = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & \vec{b} \\ [B]\ & \vec{a} \\ [C]\ & \vec{d} \\ [D]\ & \vec{e} \\ [E]\ & \vec{f} \end{align}$

Dari gambar jajaran genjang di atas kita peroleh $\vec{h} - \vec{g} + \vec{c}=\vec{ b }$. Jika kita gambarkan penjumlahannya seperti berikut ini

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[A]\ \vec{b}$

9. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada gambar jajaran genjang di bawah ini hasil dari $\vec{a}+\vec{h} + \vec{f} - \vec{c} = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & -\vec{d} \\ [B]\ & -\vec{b} \\ [C]\ & \vec{e} \\ [D]\ & -\vec{g} \\ [E]\ & \vec{h} \end{align}$

Dari gambar jajaran genjang di atas kita peroleh $\vec{a}+\vec{h} + \vec{f} - \vec{c}=-\vec{d}$. Jika kita gambarkan penjumlahannya seperti berikut ini

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[A]\ -\vec{d}$

10. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada gambar jajaran genjang di bawah ini hasil dari $\vec{f}+\vec{d} - \vec{c} = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & -\vec{b} \\ [B]\ & \vec{f} \\ [C]\ & \vec{h} \\ [D]\ & \vec{g} \\ [E]\ & -\vec{e} \end{align}$

Dari gambar jajaran genjang di atas kita peroleh $\vec{f}+\vec{d} - \vec{c} =-\vec{e}$. Jika kita gambarkan penjumlahannya seperti berikut ini

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[E]\ -\vec{e}$

11. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada gambar jajaran genjang di bawah ini hasil dari $\vec{e}-\vec{b} + \vec{c}- \vec{g} = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & \vec{e} \\ [B]\ & \vec{h} \\ [C]\ & -\vec{b} \\ [D]\ & -\vec{a} \\ [E]\ & \vec{c} \end{align}$

Dari gambar jajaran genjang di atas kita peroleh $\vec{e}-\vec{b} + \vec{c}- \vec{g} = \vec{a}$. Jika kita gambarkan penjumlahannya seperti berikut ini

Pada pilihan jawaban tidak ada $\vec{a}$ maka kita cari vektor yang sama yaitu $\vec{c}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[E]\ \vec{c}$

12. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada gambar jajaran genjang di bawah ini hasil dari $\vec{d}+\vec{c} - \vec{g}+ \vec{e} = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & \vec{a} \\ [B]\ & \vec{b} \\ [C]\ & \vec{d} \\ [D]\ & \vec{e} \\ [E]\ & \vec{f} \end{align}$

Dari gambar jajaran genjang di atas kita peroleh $\vec{d}+\vec{c} - \vec{g}+ \vec{e} = \vec{c}$. Jika kita gambarkan penjumlahannya seperti berikut ini

Pada pilihan jawaban tidak ada $\vec{c}$ maka kita cari vektor yang sama yaitu $\vec{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[A]\ \vec{a}$

13. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada gambar jajaran genjang di bawah ini hasil dari $\vec{d}-\vec{c} - \vec{g}+ \vec{e} = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & -\vec{a} \\ [B]\ & \vec{b} \\ [C]\ & \vec{c} \\ [D]\ & \vec{d} \\ [E]\ & \vec{e} \end{align}$

Dari gambar jajaran genjang di atas kita peroleh $\vec{d}-\vec{c} - \vec{g}+ \vec{e} = -\vec{a}$. Jika kita gambarkan penjumlahannya seperti berikut ini

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $[A]\ -\vec{a}$

14. Soal Latihan Vektor Secara Geometris

Pada persegi panjang di bawah ini, titik $P$ ditengah-tengah $AB$ dan titik $Q$ pada $\vec{DP}$ yang memenuhi $\vec{DQ} : \vec{QP} = 2 : 1$. Jika $\vec{AQ} = k \cdot \vec{AC}$ maka nilai $k = \cdots$

$\begin{align} [A]\ & \dfrac{1}{2} \\ [B]\ & \dfrac{2}{3} \\ [C]\ & \dfrac{1}{3} \\ [D]\ & \dfrac{1}{4} \\ [E]\ & \dfrac{3}{4} \end{align}$

Dari gambar persegi panjang $ABCD$ di atas kita peroleh $\vec{DC} \parallel \vec{AP }$ dan $\angle DQC=\angle AQP$ [sudut bertolak belakang] sehingga dapat juga kita peroleh bahwa $\angle APQ=\angle CDQ$ dan $\angle QAP=\angle DCQ$.

Karena besar ketiga sudut dalam $\bigtriangleup APQ$ dan $\bigtriangleup CDQ$ sama maka $\bigtriangleup APQ$ dan $\bigtriangleup CDQ$ adalah sebangun, sehingga berlaku: $\begin{align}

\dfrac{\vec{CQ}}{\vec{QD}} &=\dfrac{\vec{AQ}}{\vec{QP}} \\ \dfrac{\vec{CQ}}{2} &=\dfrac{AQ}{1} \\ \vec{CQ} &= 2\ \vec{AQ} \\ \hline \vec{AQ} &= k \cdot \vec{AC} \\ \vec{AQ} &= k \cdot \left[ \vec{AQ}+\vec{QC} \right] \\ \vec{AQ} &= k \cdot \left[ \vec{AQ}+2\ \vec{AQ} \right] \\ \vec{AQ} &= k \cdot 3\vec{AQ} \\ \dfrac{\vec{AQ}}{3\vec{AQ}} &= k \\ \dfrac{1}{3} &= k \end{align}$

Video yang berhubungan