Eksplorasi 6.1 menyelidiki fungsi kuadrat terbuka ke atas

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

Jakarta -

Fungsi kuadrat adalah relasi kuadrat yang digunakan untuk menghubungkan antara daerah asal dan daerah hasil. Bentuk umum fungsi kuadrat ditulis dengan

y = ax² + bx + c dengan a ≠ 0.

Keterangan:Nilai a adalah koefisien dari x²Nilai b adalah koefisien dari x

Nilai c adalah konstanta

Contoh Soal Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

1. f(x) = 4x² + 3x + 8. Hitunglah nilai a + 2b + 3c!

Jawaban:

Diketahui nilai a = 4, b = 3, c = 8= a + 2b + 3c= 4 + 2(3) + 3(8)= 4 + 6 + 24

= 34

2. f(x) = 3x² - 2x + 5 memiliki bentuk sesuai dengan bentuk f(x) = ax² + bx + c. Hitunglah nilai 2a + 3b + 4c!

Jawaban:

= Diketahui nilai a = 3, b = -2, c = 5= 2a + 3b + 4c = 2(3) + 3(-2) + (4 x 5)= 6 - 6 + 20

= 20

3. Diketahui fungsi f(x) = x² + 4x + 5. Hitunglah bayangangan untuk nilai x = 3

Jawaban:= f(x) = x² + 4x + 5= f(3) = 3² + 4(3) + 5= f(3) = 9 + 12 + 5

= f(3) = 26

Grafik Fungsi Kuadrat

Dikarenakan berupa fungsi, maka fungsi kuadrat dapat digambarkan grafiknya. Bentuk grafik kuadrat ini menyerupai parabola.

Nilai a pada fungsi y = ax² + bx + c akan memengaruhi bentuk grafik.

Jika nilai a positif, grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya, jika nilai a negatif, grafiknya akan terbuka ke bawah. Kemudian, jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih "kurus".

Nilai b pada grafik y = ax² + bx + c menunjukkan letak koordinat titik puncak dan sumbu simetri. Jika a > 0, grafik y = ax² + bx + c memiliki titik puncak minimum. Jika a < 0, grafik y = ax² + bx + c memiliki titik puncak maksimum.

Nilai c pada grafik y = ax² + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu-y, yakni pada koordinat (0, c).

Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Puncak/Maksimum

Klik Halaman Selanjutnya untuk penjelasan lebih lanjut >>>> '

Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut"

No Text Content!

c mana yang menentukan? 2. Fungsi kuadrat yang terbuka ke atas adalah______________(Jawaban bisa lebih dari satu) a. b. c. d. 3. Fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah adalah______________(Jawaban bisa lebih dari satu) a. b. c. d. 4. Perhatikan diagram gerak di bawah ini. Diagram gerak adalah diagram yang menunjukkan posisi terhadap waktu dimana selang waktu antar dua posisi selalu sama. Gambar mana yang akan menghasilkan fungsi kuadrat dengan , , dan ? 154 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Latihan 6.2 1. Kalian perhatikan bahwa posisi awal tidak dumulai pada nol. alian perhatikan bahwa posisi awal tidak dumulai pada nol. 5 6 9 14 21 30 41 a. Isi tabel jarak tempuh mobil terhadap waktu. Waktu (det) 0 1 2 3 4 5 6 Jarak (m) b. Gambarkan graik jarak terhadap waktu pada kertas berpetak. c. Apakah hasilnya menggambarkan bentuk parabola? d. Berapa nilai c jika merujuk pada y = 2. Tabel di bawah menunjukkan jarak tempuh suatu mobil pada setiap waktu. Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 Jarak (m) 0 5 8 9 8 5 0 Bab 6 | Fungsi Kuadrat 155 Tanpa menggambar graik, tentukan apakah graik fungsi kuadrat terbuka ke atas atau ke bawah. Jelaskan alasan kalian. 3. Tabel di bawah menunjukkan keuntungan penjualan suatu produk untuk jumlah produk yang terjual. Jumlah benda 0 10 20 25 30 40 Keuntungan (ribu rupiah) 0 800 1200 1250 1200 800 Tanpa menggambar graik, tentukan apakah graik fungsi kuadrat terbuka ke atas atau ke bawah. Jelaskan alasan kalian. Eksplorasi 6.5 Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum dan Sumbu Simetri Ayo Bereksplorasi Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 6.9 Lintasan Air Selang Jika titik A merupakan titik O, berapa koordinat titik C? Berapa ketinggian maksimum air yang keluar dari selang? 156 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Perhatikan gambar kedua. Kabel penghubung jembatan berbentuk parabola. Berapa koordinat titik A? Jelaskan alasan kalian. Selain sebagai titik asal O apa lagi yang istimewa dari titik ini? Gambar 6.10 Struktur Jembatan Berapa koordinat titik A, B dan C? Jelaskan alasan kalian. Gambar 6.11 Struktur Jembatan Bab 6 | Fungsi Kuadrat 157 Dapatkah kalian menyebutkan karakteristik lain dari fungsi kuadrat berdasarkan Eksplorasi 6.5? Gambar 6.12 Karakteristik Fungsi Kuadrat Perhatikan Gambar 6.12 dan amati beberapa titik istimewa dalam fungsi kuadrat: • Titik potong dengan sumbu y, yaitu . Apakah kalian masih ingat bagaimana menentukan titik potong dengan sumbu y? • Titik-titik potong dengan sumbu x, yaitu (-1,0) dan . • Vertex disebut juga sebagai titik puncak, dapat berupa titik maksimum atau titik minimum (sesuai dengan graik terbuka ke atas atau ke bawah). Titik minimum dalam graik yaitu . • Sumbu simetri selalu melalui titik puncak, Eksplorasi 6.6 Ayo Bereksplorasi Untuk setiap fungsi , yang diberikan dalam a - j, hitunglah nilai 158 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X 1. Tentukan fungsi-fungsi yang . Apa kesamaan fungsi-fungsi ini? 2. Tentukan fungsi-fungsi yang . Apa kesamaan fungsi-fungsi ini? 3. Tentukan fungsi-fungsi yang . Apa kesamaan fungsi-fungsi ini? 4. Lengkapilah tabel berikut banyaknya akar banyaknya titik potong graik dengan sumbu x Ayo Berpikir Kriis 1. Bagaimana graik fungsi kuadrat yang dan ? 2. Pada rumus abc, adakah nilai ? 3. Bagaimana hubungan titik potong dengan sumbu x dengan akar persamaan kuadrat? Titik potong dengan sumbu x menunjukkan bahwa , artinya kalian mencari akar-akar persamaan kuadrat. Tidak ada Titik Potong Satu Titik Potong Dua Titik Potong Gambar 6.13 Titik Potong dengan sumbu x Pada fungsi kuadrat berbentuk , diskriminan diberikan oleh nilai untuk menentukan jumlah titik potong dengan sumbu x. Bab 6 | Fungsi Kuadrat 159 maka ada dua titik potong dengan sumbu x. maka ada satu titik potong dengan sumbu x. maka tidak ada titik potong dengan sumbu x. Latihan 6.3 1. Tentukan berapa banyaknya titik potong dari fungsi kuadrat berikut. a. b. c. d. e. f. g. h. 2. Tentukan koordinat titik puncak, sumbu simetri, koordinat titik potong dengan sumbu y, dan banyak titik potong dari graik fungsi-fungsi kuadrat di bawah ini. 4 y x 3 2 1 0 -1 -2-3 2 3 -1 1 -2 4 y x 2 6 -4 -2 0 2 4 -2 8 y x 6 10 12 4 2 -2-3 2 3 -1 0 1 Apakah hubungan antara titik puncak dengan graik terbuka ke atas atau ke bawah? 3. Perhatikan tabel di bawah ini, yang menunjukkan jarak tempuh suatu mobil sebagai fungsi dari waktu Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 Jarak (m) 8 13 16 17 16 13 8 160 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X a. Berapa jarak maksimum yang ditempuh? b. Berapa koordinat titik maksimum? c. Tentukan persamaan garis sumbu simetri. 4. Perhatikan tabel di bawah ini, yang menunjukkan biaya produksi sebagai fungsi dari jumlah barang. Biaya produksi 0 500 400 500 800 1300 6 Jumlah 0 10 20 30 40 50 8 a. Berapa biaya minimum? b. Berapa koordinat titik minimum? c. Tentukan persamaan garis sumbu simetri. Ayo Berpikir Kriis 5. Untuk setiap kasus di bawah ini tentukan apakah graik fungsi kuadrat terbuka ke atas atau ke bawah. a. Biaya produksi sebagai fungsi dari jumlah barang. b. Keuntungan sebagai fungsi dari jumlah barang. c. Kualitas bunyi dari sound system sebagai fungsi dari amplitudo gelombang bunyi. d. Efektivitas obat sebagai fungsi dari dosis obat. e. Keselamatan pemakaian suatu bahan sebagai fungsi dari waktu pemakaian. Latihan 6.4 1. Keuntungan penjualan biskuit sebagai fungsi dari jumlah produksi. a. Buat tabelnya dari hingga b. Gambarkan graiknya. c. Tentukan keuntungan maksimum. 2. Fungsi kuadrat untuk gerak bola adalah a. Buat tabel dari hingga detik b. Gambarkan graiknya c. Tentukan ketinggian maksimum Bab 6 | Fungsi Kuadrat 161 Ayo Berefleksi 1. Apakah kalian dapat membuat graik fungsi kuadrat jika diberikan tabel nilai? 2. Apakah kalian dapat membedakan fungsi kuadrat terbuka ke atas dengan terbuka ke bawah? 3. Apakah kalian dapat menjelaskan peran c dalam fungsi kuadrat ? 4. Apakah kalian dapat menentukan titik puncak, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu y dan titik potong dengan sumbu x? 5. Apakah kalian dapat membedakan titik maksimum dan titik minimum? 6. Apakah kalian dapat melihat hubungan antara diskriminan dengan banyak titik potong dengan sumbu x. B. Mengonstruksi Fungsi Kuadrat Eksplorasi 6.7. Ayo Bereksplorasi Tentukan tiga titik yang melalui busur. Gambar 6.14 Busur Panah sebagai Fungsi Kuadrat Bagaimana kalian menentukan fungsi kuadrat dari lengkungan busur? Jika tiga titik diketahui maka dapat ditentukan. Kalian menggunakan sistem persamaan tiga variabel untuk menentukan nilai , , dan . 162 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Contoh: Carilah persamaan fungsi kuadrat yang graiknya melalui titik , , dan . Gambar 6.15 Graik fungsi kuadrat yang melalui K (-1,0), L(0,-3), dan M(1,-4) Alternatif Penyelesaian 1: Substitusi koordinat K(-1,0) ke dalam fungsi, didapat persamaan: Substitusi koordinat L(0,-3) didapat persamaan: Substitusi koordinat M(1,-4) didapat persamaan: Dari tiga persamaan ini didapatkan sistem persamaan linear Kalian telah mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya adalah Persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik K(-1,0), L(0,-3), dan M(1,-4) adalah Bab 6 | Fungsi Kuadrat 163 Alternatif Penyelesaian 2: Memanfaatkan fakta bahwa M(1,-4) adalah titik puncak fungsi, maka Substitusi titik potong dengan sumbu y Sehingga persamaan fungsi kuadratnya adalah Kalian dapat mengeksplorasi berbagai bentuk fungsi kuadrat berdasarkan graikgraik yang telah kalian buat sebelumnya. Eksplorasi 6.8. Ayo Bereksplorasi 1. Memfaktorkan bentuk fungsi a. Tentukan fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk 1) Tentukan nilai dan 2) Tentukan titik potong graik dengan sumbu x 3) Tentukan nilai 4) Tentukan akar-akar persamaan kuadrat b. Tentukan fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk 1) Tentukan nilai 2) Bagaimana letak graik dengan sumbu x? Berapa koordinatnya? 3) Tentukan nilai 4) Tentukan akar-akar persamaan kuadrat c. Tentukan fungsi yang tidak melalui sumbu x. 1) Tentukan nilai 2) Tentukan akar-akar persamaan kuadrat d. Bagaimana nilai menentukan banyaknya perpotongan graik fungsi dengan sumbu x? 164 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Fungsi Bentuk Faktor Koordinat titik potong dengan sumbu x 2. Sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak. Untuk setiap graik fungsi yang ada: a. Tentukan sumbu simetrinya b. Tentukan kaitan nilai pada no. 1 dengan sumbu simetri c. Tentukan nilai d. Tuliskan dua cara menentukan sumbu simetri. 3. Titik puncak adalah koordinat titik maksimum atau titik minimum. Untuk setiap graik fungsi yang ada: a. Tentukan koordinat titik puncaknya b. Tentukan hubungan nilai absis titik puncak dengan sumbu simetri c. Substitusi nilai sumbu simetri pada fungsi . Nilai ini sama dengan apa? d. Hitung nilai . Nilai ini sama dengan apa? e. Ubah bentuk menjadi bentuk . Nilai menunjukkan apa? f. Tuliskan berbagai cara menentukan koordinat titik puncak graik fungsi kuadrat. Dari eksplorasi kalian melihat ada beberapa bentuk untuk menuliskan fungsi kuadrat. 1. Bentuk standar 2. Titik potong dengan sumbu x pada dan , yaitu 3. Bentuk dengan titik puncak yaitu Bab 6 | Fungsi Kuadrat 165 Latihan 6.5 1. Fungsi kuadrat dengan titik puncak (2,6) dan melalui titik (1,7). nyatakan fungsi kuadrat dalam ke tiga bentuk. 2. Suatu bola dilemparkan dari ketinggian awal 4 m dan mencapai ketinggian maksimum 8 m setelah dua detik sejak dilempar. Nyatakan fungsi kuadrat dalam ke tiga bentuk. Ayo Berpikir Kriis 3. Untuk setiap kasus di bawah ini tentukan apakah diskriminan fungsi kuadrat sama dengan nol, lebih kecil dari nol atau lebih besar dari nol. a. Pendapatan dari penjualan sebagai fungsi dari jumlah barang. b. Keuntungan sebagai fungsi dari jumlah barang. c. Kualitas bunyi dari sound system sebagai fungsi dari amplitudo gelombang bunyi. d. Efektivitas obat sebagai fungsi dari dosis obat. e. Keselamatan pemakaian suatu bahan sebagai fungsi dari waktu pemakaian. 1. Apakah kalian dapat membentuk fungsi kuadrat jika diketahui tiga titik dari fungsi kuadrat? 2. Apakah kalian dapat membentuk fungsi kuadrat jika diketahui titik potong dengan sumbu x? 3. Apakah kalian dapat membentuk fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak? Ayo Berefleksi 166 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X C. Menyelesaikan Masalah dengan Fungsi Kuadrat Eksplorasi 6.9 Ayo Berpikir Kreaif Suatu kajian dilakukan untuk mengetahui penghematan bahan bakar (km/liter) terhadap kelajuan mobil (km/jam). adalah penghematan bahan bakar dan adalah kelajuan mobil. Tabel 6.2 Penghematan bahan bakar terhadap kelajuan mobil 9,5 10,8 11,7 12,3 12,2 12,8 12,7 12,8 12,9 12,2 11,6 10,8 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 Sumber: Transportation Energy Data Book 1. Buat graik terhadap dengan bentuk parabola, mungkin saja ada titiktitik yang tidak melalui graik. 2. Setelah mendapatkan bentuk graiknya tentukan fungsi kuadratnya. 3. Berapa kelajuan yang menghasilkan penghematan bahan bakar maksimum? Kalian dapat menggunakan kalkulator atau aplikasi Desmos atau GeoGebra untuk menentukan fungsi kuadrat dari sekelompok data. Petunjuk menggunakan kalkulator untuk membuat fungsi kuadrat dari sekelompok data. 1. Masukkan data pada kalkulator. 2. Buatlah sebaran data yang tampak pada layar kalkulator. 3. Gunakan itur quadratic regression untuk mendapatkan graik kuadrat terbaik. 4. Untuk mendapatkan kelajuan yang bersesuaian dengan penghematan bahan bakar maksimum, gunakan itur maksimum pada kalkulator. Ayo Menggunakan Teknologi Bab 6 | Fungsi Kuadrat 167 Eksplorasi 6.10 Ayo Bereksplorasi Seorang petani ingin membuat pagar pembatas tanaman seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. Panjang kawat adalah 24 m. Berapa luas maksimum yang dapat dibuat oleh petani? Dua contoh di atas menunjukkan salah satu kegunaan fungsi kuadrat untuk dapat mengetahui nilai maksimum dan minimum. Kalian sudah mempelajari beberapa cara untuk mendapatkan nilai minimum dan maksimum. Fungsi kuadrat digunakan dalam berbagai bidang kehidupan, dalam olahraga, bangunan, ekonomi kesehatan dan lainnya. Ayo Mencoba Harga 1 buku adalah dengan adalah banyak buku yang diproduksi. JIka pendapatan adalah dari penjualan adalah tentukan banyak buku yang diproduksi agar diperoleh pendapatan optimal atau maksimal. 168 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Latihan 6.6 1. Bandingkan fungsi linier dengan fungsi kuadrat. Waktu (detik) Jarak Tempuh (m) Jarak Tempuh (m) 0 0 0 1 2 3 2 4 8 3 6 15 4 8 24 5 10 35 6 12 48 Apakah untuk setiap detik kenaikan jarak sama untuk kedua fungsi? Jelaskan. 2. Tabel di bawah menunjukkan hubungan antara kelajuan mobil dengan eisiensi bahan bakar. Buatlah pendekatan graik fungsi kuadrat dengan adalah penghematan bahan bakar dan x adalah kelajuan mobil. Kelajuan (km/jam) 16 32 48 64 80 96 112 128 Bahan bakar (km/liter) 7,5 10,2 12,2 13,2 13,5 12,8 11,3 9,1 Berapa kelajuan yang menghasilkan penghematan maksimum? 3. Bandingkan fungsi eksponen dengan fungsi kuadrat. Apakah fungsi eksponen mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum? 1. Apakah kalian dapat membuat graik fungsi kuadrat jika diberikan sekelompok data? 2. Apakah kalian dapat membuat fungsi kuadrat dari suatu masalah? Ayo Berefleksi Bab 6 | Fungsi Kuadrat 169 Refleksi 1. Bagaimana menuliskan bentuk fungsi kuadrat? 2. Apa peran nilai a dalam fungsi kuadrat? 3. Apa peran nilai c dalam fungsi kuadrat? 4. Apa yang dimaksud dengan titik puncak dari fungsi kuadrat? 5. Apa yang dimaksud dengan diskriminan? 6. Bagaimana mengonstruksi fungsi kuadrat? 7. Bagaimana memplot sekelompok data sebagai fungsi yang mendekati fungsi kuadrat? Uji Kompetensi 1. Dari graik berikut, yang manakah yang merupakan graik fungsi kuadrat? a. b. c. d. e. 2. Gambarkan graik fungsi a. Tentukan titik potong graik dengan sumbu x b. Tentukan titik potong graik dengan sumbu y c. Tentukan sumbu simetrinya. d. Apakah fungsi ini memiliki nilai maksimum atau minimum? Tentukan nilainya. 170 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X 3. Bola dilemparkan ke atas dari tanah dengan kecepatan tertentu sehingga ketinggian yang dicapai merupakan fungsi dari waktu, Berapa ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola? 4. Pendapatan dari hasil penjualan barang ditentukan oleh jumlah barang yang diproduksi . . Tentukan pendapatan maksimal atau optimal dan jumlah barang yang bersesuaian dengannya.